Nel 1904 Ernst Zermelo formulò l’Assioma di Scelta: a ogni insieme di insiemi non vuoti si può associare un elemento preso da ciascuno. Questa premessa non nasce da una misura di laboratorio, ma permette di dedurre teoremi e di studiare le proprietà del sistema che la adotta. La matematica è quindi una scienza con teoremi e dimostrazioni nel senso delle scienze formali: ricava conseguenze necessarie da assiomi dichiarati, mentre non tratta quegli assiomi come fatti naturali osservati.
Se una disciplina non misura oggetti in laboratorio, allora non è scienza? L’alternativa è formulata male, perché applica a ogni campo il metodo delle scienze sperimentali. La matematica produce conoscenza controllabile con un metodo diverso: esplicita le premesse, usa regole logiche e accerta se la conclusione segue davvero.
Perché la matematica è una scienza con teoremi e dimostrazioni
In un esperimento si formula un’ipotesi su un fenomeno e la si confronta con osservazioni o misure. Nuove osservazioni possono essere incompatibili con l’ipotesi, mostrare che vale soltanto in certe condizioni oppure richiedere una formulazione diversa. Il rapporto decisivo è quello tra ciò che si afferma e ciò che accade nel mondo osservabile.
Una dimostrazione matematica opera in un altro modo. Parte da assiomi, cioè enunciati accettati come premesse all’interno di un sistema, e procede attraverso passaggi regolati dalla logica. Se gli assiomi sono assunti e ogni passaggio è valido, la conclusione è necessaria: non viene resa soltanto plausibile dall’accumulo di casi favorevoli.
Controllare molti esempi può suggerire un enunciato matematico, ma la conformità degli esempi non lo trasforma in un teorema generale. La dimostrazione deve coprire tutti i casi compresi nell’enunciato oppure ricondurli, mediante passaggi logici, alle premesse ammesse. Un solo errore nel ragionamento può interrompere quel legame, anche quando la conclusione sembra intuitiva.
Qui viene prima una condizione: le premesse devono essere dichiarate. Senza sapere quali assiomi sono ammessi, una conclusione matematica resta priva del contesto che ne stabilisce la validità. Dire soltanto che un teorema è “vero” può quindi essere impreciso; la formulazione completa è che quel teorema segue dagli assiomi del sistema considerato.
Assiomi, teoremi e sistemi matematici
Un sistema assiomatico raccoglie gli assiomi impiegati per ricavare teoremi. La teoria matematica comprende sia quell’impianto iniziale sia le conseguenze dedotte. Alcuni concetti di base possono rimanere primitivi, cioè privi di una definizione esplicita, e acquistare significato attraverso le relazioni fissate dagli assiomi.
L’assioma e il teorema occupano dunque posizioni differenti. Il primo viene assunto nel sistema; il secondo deve essere ottenuto tramite una dimostrazione. La verità del teorema è condizionata alle premesse: accettati gli assiomi e le regole logiche, la conclusione segue.
Questo carattere condizionale non rende arbitraria la matematica. Al contrario, permette di controllare con precisione dove nasce ogni affermazione. Modificando un assioma possono cambiare i teoremi disponibili, ma rimane l’obbligo di mostrare tutti i passaggi e di esaminare che cosa accade all’intero sistema.
Coerenza, indipendenza e completezza non coincidono
Gli assiomi non vengono valutati tutti con la stessa domanda. Un sistema può essere esaminato sotto proprietà diverse, ciascuna delle quali risponde a un problema preciso:
- Coerenza: il sistema non deve consentire di ricavare teoremi contraddittori. Se dalle medesime premesse si arrivasse sia a un enunciato sia alla sua negazione, l’impianto perderebbe la capacità di separare conclusioni compatibili e incompatibili.
- Indipendenza: un assioma è indipendente quando non può essere dedotto dagli altri. In tal caso la sua presenza aggiunge davvero una premessa, invece di ripetere in altra forma qualcosa già contenuto nel sistema.
- Completezza: per ogni proposizione formulabile nell’universo del sistema deve essere possibile dimostrarne la verità oppure la falsità. È una proprietà specifica, non una caratteristica automatica di qualunque teoria matematica.
Queste proprietà chiariscono anche perché gli assiomi non vadano confusi con verità universali dimostrate. Un assioma può essere compatibile con gli altri senza essere ricavabile da essi; adottarlo oppure escluderlo produce teorie con conseguenze differenti. Il lavoro matematico riguarda quindi sia i teoremi sia la struttura delle premesse che li rende ottenibili.
Un enunciato può inoltre rimanere indipendente rispetto agli assiomi disponibili: da quelle premesse non si riesce né a dedurlo né a confutarlo. Aggiungerlo come nuovo assioma consente di esplorare una teoria più estesa, purché venga conservata la coerenza richiesta.
L’Assioma di Scelta mostra che le premesse hanno conseguenze
La controversia sull’Assioma di Scelta rende concreta una distinzione che altrimenti potrebbe sembrare soltanto terminologica. Al Congresso di Parigi del 1900 David Hilbert inserì tra i problemi aperti della teoria degli insiemi quello del buon ordinamento: stabilire se ogni insieme possa essere dotato di un ordine nel quale ogni sottoinsieme non vuoto possieda un elemento minimo.
La formulazione di Zermelo introdusse la cosiddetta funzione di scelta, che associa a ciascun sottoinsieme non vuoto un elemento appartenente a quel sottoinsieme. Il principio può sembrare immediato quando gli insiemi sono pochi e gli elementi si possono indicare direttamente. La questione diventa più delicata per famiglie arbitrarie di insiemi, nelle quali non è fornita una regola esplicita per individuare ogni elemento.
La ricostruzione storica di Dora Pastore, nell’ambito dell’Alma Mater Studiorum–Università di Bologna, mostra quanto l’assioma sia stato discusso. Hilbert lo definì in seguito l’assioma più attaccato del periodo, mentre Abraham Fraenkel paragonò l’intensità della controversia a quella suscitata dall’assioma euclideo delle parallele. Alcuni matematici lo avevano anche impiegato senza dichiararlo, per esempio in ragionamenti relativi alle nozioni di finitezza e di continuità.
I lavori di Kurt Gödel e Paul Cohen stabilirono poi la consistenza e l’indipendenza dell’Assioma di Scelta nell’ambito della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel. In termini accessibili, quell’assioma non si ricava dagli altri assiomi del sistema e la sua negazione non si ottiene come teorema dalle medesime premesse. Si possono quindi studiare impianti che lo ammettono e impianti che ne fanno a meno, osservando quali conseguenze matematiche diventano disponibili.
È questo il passaggio che cambia la risposta iniziale. La matematica non controlla soltanto se una dimostrazione è corretta: studia anche quali premesse sono indipendenti, quali sistemi restano coerenti e quali teoremi dipendono da un determinato assioma. La controversia non viene risolta misurando un oggetto naturale, perché riguarda le relazioni logiche interne a una teoria.
Quando la matematica viene applicata ai fenomeni reali
Un teorema stabilisce ciò che segue all’interno dell’impianto assiomatico indicato. Quando una teoria matematica viene usata per descrivere un fenomeno fisico, biologico o economico, entra però un passaggio ulteriore: bisogna confrontare il modello con osservazioni ed esperimenti.
La deduzione può essere impeccabile e il modello comunque inadeguato al fenomeno, per esempio perché le condizioni iniziali non lo rappresentano bene o perché sono state escluse variabili rilevanti. In quel contesto la matematica garantisce la correttezza delle conseguenze rispetto al modello; la corrispondenza fra modello e realtà dipende invece dal controllo empirico.
Chiamare la matematica “scienza formale” evita così due errori opposti. Non la riduce a una raccolta di calcoli, perché riconosce il rigore con cui costruisce e analizza teorie. Allo stesso tempo, non attribuisce ai teoremi il compito di accertare direttamente come funziona la natura.
Le domande più comuni
Un assioma può diventare un teorema?
Dipende dal sistema adottato. Un enunciato assunto come assioma in una teoria potrebbe essere deducibile da premesse differenti in un’altra. Se invece può già essere ricavato dagli altri assiomi del medesimo sistema, non è indipendente e la sua inclusione come premessa autonoma risulta logicamente ridondante.
Che cosa sono i concetti primitivi in matematica?
Sono termini di base che non ricevono una definizione esplicita mediante parole ancora più elementari. Il loro significato viene delimitato implicitamente dalle relazioni stabilite negli assiomi. Questo evita una catena infinita di definizioni, nella quale ogni termine dovrebbe essere spiegato attraverso altri termini a loro volta ancora indefiniti.
Due teorie con assiomi diversi possono essere entrambe valide?
Sì, purché ciascuna venga studiata rispetto alle proprie premesse e alle proprie proprietà. Possono produrre teoremi diversi senza che ciò costituisca automaticamente una contraddizione, perché le conclusioni appartengono a sistemi differenti. Il confronto richiede di dichiarare gli assiomi e di capire quali conseguenze dipendano da ciascuno di essi.
Chi usa modelli matematici in un laboratorio o in un reparto tecnico deve quindi tenere separati due controlli: la correttezza della deduzione e l’aderenza del modello al fenomeno osservato. Il teorema governa il primo; misure ed esperimenti stabiliscono il secondo.